什么是反函数(反函数是如何定义的)
作者: WA小刀
2019-08-03 14:44:27
[ 闻蜂导读 ] 了解反函数和单调函数

初识微积分和函数

这次我们来说反函数和单调函数。

介绍反函数之前,我们必须要了解一一对应关系,我们都知道,函数就是有一个具体x值能对应到一个具体y值,但是如果有好几个x值都对应到一个具体的y值,那么这个函数就不是一一对应关系了。

反函数简单的来说,就是一个具体的y值对应到一个具体的x值。举个例子,如果知道你的生日,以某个日期为自变量x,你的年龄为因变量y,这时候形成一个函数y=f(x),即给出一个日期,我们就能够知道该日期时你的具体年龄。那如果还是这种情况,给出你的年龄,那么我们也能够算出你在这个岁数时具体为什么日期,后一种情况就形成了一个新的函数x=g(y),这个函数就是y=f(x)的反函数。数学上我们用类似于-1次方来表示反函数,如下图:

(A3)了解反函数和单调函数

Wolframalpha小贴士:在WA中求解反函数十分方便,只需要在待求函数前加上英文inverse或者inverse function即可,如下图,求解y=x^3的反函数,结果中还将原函数和反函数都画了出来,很明显,函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)是关于y=x对称的。

(A3)了解反函数和单调函数

那是不是所有函数都有反函数呢?当然不是,我们刚讲过一一对应,只有一一对应的函数才具有反函数。这时候问题又来了,函数是否一一对应我们又怎么能够知道呢?是不是得有一个判断的方法?有,只要函数是严格单调函数,则一定有反函数。

现在我们先来了解下什么是单调函数。简单来说,单调说明缺少变化,就是要么函数值一直增加(递增函数),要么函数值一直减少(递减函数)的函数就叫做单调函数,如果同时任意两个函数值都不等,那么就叫做严格单调函数。通过计算方式验证,大家中学都学过了,这次来点高端的,其实也就是WA。

Wolframalpha小贴士:在WA中输入Monotonicity of x^2,意思是y=x^2的单调性怎么样啊?,如下图,聪明的WA告诉我们,小于0是递减,大于0是递增,导函数是y=2x,临界点为x=0,定义域为全体实数R,并且把图也画出来了。

(A3)了解反函数和单调函数

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